Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение 7.Уравнение вида именуется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение можно привести к виду , разделив все члены уравнения на произведение .

К примеру, решить уравнение

Решение. Производная равна , означает

Разделяя переменные, получим:

.

Сейчас интегрируем:


Решите дифференциальное уравнение

Решение. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для разделения переменных этого уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными в виде и разделим его почленно на произведение . В итоге получим либо

интегрируя обе части последнего уравнения, получим общее решение

аrcsin y = arcsin x + C

Найдем сейчас личное решение, удовлетворяющее исходным условиям . Подставляя в общее решение исходные условия, получим

; откуда C=0

Как следует, личное решение имеет вид arc sin y=arc sin x, но синусы равных Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными дуг равны меж собой

sin (arcsin y) = sin (arcsin x).

Откуда, по определению арксинуса, следует, что y = x.

Однородные дифференциальные уравнения

Определение 8.Дифференциальное уравнение вида, которое можно привести к виду , именуется однородным.

Для интегрирования таких уравнений создают подмену переменных, полагая . Эта подстановка приводит к дифференциальному уравнению относительно x Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и t, в каком переменные делятся, после этого уравнение можно интегрировать. Для получения окончательного ответа нужно переменную t поменять на .

К примеру,решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение так:

получим:

После сокращения на х2 имеем:

Заменим t на :

Вопросы для повторения

1 Какое уравнение именуется дифференциальным?

2 Назовите виды дифференциальных уравнений.

3 Поведать методы Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными решения всех нареченных уравнений.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в подходящем нам виде:

Оцениваем, можно ли поделить переменные? Можно. Переносим 2-ое слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разбиты, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный денек. Если вы плохо исследовали неопределенные интегралы Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, прорешали не достаточно примеров, то деваться некуда – придется их осваивать на данный момент.

Интеграл левой части просто отыскать способом подведения функции под символ дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошедшем году:


В правой части у нас вышел логарифм Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, согласно моей первой технической советы, в данном случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Сейчас пробуем упростить общий интеграл. Так как у нас одни логарифмы, то от их полностью можно (и необходимо) избавиться. Очень «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится при помощи трёх параметров:


Пожалуйста, перепишите эти три формулы к Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными для себя в рабочую тетрадь, при решении диффуров они используются очень нередко.

Решение распишу очень тщательно:


Упаковка завершена, убираем логарифмы:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Нужно возвести в квадрат обе части. Но делать этого не надо.

3-ий технический совет: Если для получения общего решения необходимо строить в степень либо Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными извлекать корешки, то почти всегда следует воздержаться от этих действий и бросить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и страшно – с большенными корнями, знаками .

Потому ответ запишем в виде общего интеграла. Неплохим тоном считается представить общий интеграл в виде Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными , другими словами, в правой части, по способности, бросить только константу. Делать это не непременно, но всегда же прибыльно повеселить доктора ;-)

Ответ: общий интеграл:

Примечание:общий интеграл хоть какого уравнения можно записать не единственным методом. Таким макаром, если у вас не совпал итог с заблаговременно известным ответом, то это еще не Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными означает, что вы некорректно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется достаточно просто, главное, уметь отыскивать производные от функции, данной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности начальное дифференциальное уравнение , означает, общий интеграл найден верно.

Пример 4

Отыскать личное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее исходному условию . Выполнить проверку Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Это пример для самостоятельного решения. Припоминаю, что задачка Коши состоит из 2-ух шагов:
1) Нахождение общего решение.
2) Нахождение личного решения.

Проверка тоже проводится в два шага (см. также эталон Примера 2), необходимо:
1) Убедиться, что отысканное личное решение вправду удовлетворяет исходному условию.
2) Проверить, что личное решение вообщем удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и ответ в конце урока.

Пример 5

Отыскать личное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее исходному условию . Выполнить проверку.

Решение:Поначалу найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а означает, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем способом подведения функции под символ Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли успешно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи нужно бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем личное решение, соответственное данному исходному условию . В общее решение заместо «икса» подставляем ноль, а заместо «игрека» логарифм 2-ух:

Более обычное оформление Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

Подставляем отысканное значение константы в общее решение.

Ответ: личное решение:

Проверка: Поначалу проверим, выполнено ли изначальное условие :
– всё гуд.

Сейчас проверим, а удовлетворяет ли вообщем отысканное личное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на начальное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два метода проверки. Можно из отысканной производной выразить Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными дифференциал :

Подставим отысканное личное решение и приобретенный дифференциал в начальное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, означает, личное решение найдено верно.

2-ой метод проверки зеркален и поболее привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в перевоплощенное ДУ подставим приобретенное личное решение и найденную Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными производную . В итоге упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда разумеется (в особенности, чайнику), что переменные можно поделить Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Разглядим условный пример: . Тут необходимо провести вынесение множителей за скобки: и отделить корешки: . Как действовать далее – понятно.

2) Трудности при самом интегрировании. Интегралы часто появляются не самые обыкновенные, и если есть недостатки в способностях нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является обычным, то пусть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все увидели, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать фактически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новенькому. Разглядим очередной условный пример: . В нём целенаправлено помножить Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными все слагаемые на 2: . Приобретенная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целенаправлено переписать в виде другой константы: .

Неудача же заключается в том, что часто не заморачиваются с индексами, и употребляют одну и ту же буковку . И в Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными итоге запись решения воспринимает последующий вид:

Что за фигня? Здесь же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, предполагается, что при преобразовании константы всё равно выходит какая-то другая константа .

Либо таковой пример, представим, что в процессе решения уравнения получен общий интеграл . Таковой ответ смотрится безобразно, потому целенаправлено Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными поменять у всех множителей знаки: . Формально по записи здесь снова ошибка, следовало бы записать . Но неформально предполагается, что – это всё равно какая-то другая константа (тем паче может принимать хоть какое значение), потому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же буковку .

Я буду стараться Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными избегать халатного подхода, и всё-таки проставлять у констант различные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу здесь не непременно определять под логарифм, так как ничего путевого из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено начальное дифференциальное уравнение, означает, общий интеграл найден верно.

Пример 8

Отыскать личное решение ДУ.
,

Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, тут получится общий интеграл, и, вернее говоря, необходимо исхитриться отыскать не личное решение Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, ачастный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.

Как ранее говорилось, в диффурах с разделяющимися переменными часто вырисовываются не самые обыкновенные интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать способности нахождения интегралов либо восполнить пробелы в познаниях Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение

Пример 10

Решить дифференциальное уравнение

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным методом, и внешний облик ваших ответов может отличаться от внешнего облика моих ответов. Лаконичный ход решения и ответы в конце урока.

Последующая рекомендуемая статья – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Удачного продвижения!

Решения и ответы Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

Пример 4:Решение:Найдем общее решение. Разделяем переменные:


Интегрируем:



Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от их:


Выражаем функцию в очевидном виде, используя .
Общее решение:

Найдем личное решение, удовлетворяющее исходному условию .
Метод 1-ый, заместо «икса» подставляем 1, заместо «игрека» – «е»:
.
Метод 2-ой:

Подставляем отысканное значение константы в Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными общее решение.
Ответ:личное решение:

Проверка: Проверяем, вправду ли производится изначальное условие:
, да, изначальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообщем личное решение дифференциальному уравнению. Поначалу находим производную:

Подставим приобретенное личное решение и найденную производную в начальное уравнение :

Получено верное равенство, означает, решение найдено верно.

Пример 6:Решение:Данное Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:




Ответ:общий интеграл:

Примечание: здесь можно получить и общее решение:

Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это не нужно, так как таковой ответ смотрится достаточно хреново.

Пример 8:Решение:Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:



Интегрируем:


Общий интеграл:
Найдем личное решение (личный Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными интеграл), соответственный данному исходному условию . Подставляем в общее решение и :

Ответ:Личный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить чего-нибудть более малогабаритное.

Пример 9:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем подмену:

Таким макаром Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:


(тут дробь раскладываетсяметодом неопределенных коэффициентов, но она так обычная, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)

Оборотная подмена:



Ответ:общий интеграл:

Пример 10:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:





Способом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму простых дробей:



Примечание: Интеграл можно было также отыскать Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными способом выделения полного квадрата.





Ответ:общее решение:

Примеры: 1. .
При таковой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно конвертировать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постояннуюC как ln|C1|: . Вернёмся к обозначению неизменной интегрирования C; общее решение содержит личное решение y = 1 при C = 0.
2. Отыскать решение задачки Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными Коши
Решаем уравнение: . Тут могут быть потеряны решения неизменная интегрирования записана как . Дальше, . Общий интеграл уравнения

y2 = C(x2 – 1) + 1. Личные решения содержатся в общем интеграле при C = 0, решения утеряны (понятно, почему это вышло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной, , то, разумеется, на решениях нарушаются условия, налагаемые аксиомой Коши Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными на правую часть уравнения). Всё огромное количество решений: y2 = C(x2 – 1) + 1, x = 1, x = -1. Мы должны отыскать ещё личное решение, удовлетворяющее исходному условию y(1) = 5. Подстановка значений x = 1, y = 5 в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого личного решения не содержит. Решение x = 1 удовлетворяет исходному условию, это и есть решение задачки Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида ( - неизменные). Если перейти к новейшей неведомой функции z = ax + by+ c, то , и уравнение представляется как . Это - уравнение с разделяющимися переменными.
Пример: .


differencialnie-uravneniya-pervogo-poryadka-s-razdelyayushimisya-peremennimi.html
differencialnie-uravneniya-s-razdelyayushimisya-peremennimi-zadachi-privodyashie-k-obiknovennim-differencialnim-uravneniyam.html
differencialnie-uravneniya-vtorogo-poryadka-b-v-novish-visshaya-matematika.html