Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям...

^ Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если для нахождения решения (либо интеграла) дифференциального уравнения довольно отыскать первообразные, то молвят, что дифференциальное уравнение приведено к квадратуре. Приведение обычного дифференциального уравнения первого порядка к квадратуре именуют разделением переменных Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям....

Примером уравнения, приведенного к квадратуре, является уравнение

.




Его личное решение, удовлетворяющее исходному условию , имеет вид

,

либо

,

где – какая-либо первообразная функции . В справедливости последних соотношений можно убедиться, дифференцируя обе части по переменной x.

Если уравнение Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям... первого порядка имеет вид

,

(1.8)

то молвят, что переменные в уравнении разбиты; уравнение (1.8) именуют с разбитыми переменными. Это уравнение можно рассматривать как равенство 2-ух дифференциалов. Неопределенные интегралы от их будут отличаться только неизменным Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям... слагаемым. Интегрируя левую часть по переменной x, а правую – по переменной y, получим:

.

(1.9)

Последнее соотношение является конечным уравнением, связывающим независимую переменную, разыскиваемую функцию и произвольную постоянную. Потому (1.9) является общим интегралом Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям... уравнения (1.8).

К примеру, для разделения переменных в уравнении



довольно помножить обе части на dx:

.

Потому общее решение имеет вид

.

Несложно получить личное решение, удовлетворяющее условию :

,

откуда

,

,

что совпадает с результатом, приобретенным выше по формуле Ньютона-Лейбница.

Если Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям... уравнение имеет вид

,

при этом , то его именуют уравнением с разделяющимися переменными. Это уравнение можно привести к виду

.

К примеру, в уравнении



для разделения переменных довольно помножить обе части на :

,

откуда

, ,

;

функция является общим решением Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям....

Одним из важных вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос о классах уравнений, приводящихся к квадратурам. Посреди уравнений первого порядка к квадратурам приводятся, а именно, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах и Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям... линейные уравнения.
^ Однородные уравнения
Уравнение



именуется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевой степени:

.

Однородные уравнения интегрируются подменой

, , .

Пример. . Это уравнение – однородное; в этом можно убедиться, разрешая его относительно производной:

,

.

Полагая , получим

, , ;

, ,

, .

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

.

(1.10)

Если Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям... , то уравнение (1.10) – однородное. Пусть c и c1 сразу не равны нулю. Выполним линейную подмену

, ,

так, чтоб в новых переменных уравнение стало однородным. Имеем:

,

,

.

Довольно избрать  и  так, чтоб суммы в Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям... скобках обратились в ноль:

.

Если основной определитель последней системы отличен от нуля, то  и  определяются единственным образом. Если он равен нулю, то

, , ,

потому уравнение (1.10) имеет вид

.

Для разделения переменных следует выполнить подмену .


differencialnih-uravnenij.html
differencialnij-diagnoz-difterii-u-detej.html
differencialnij-diagnoz-krasnuhi.html