Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика

^ Дифференциальные уравнения второго порядка
Вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной

.

Общее решение этого уравнения содержит две независящие произвольные неизменные и . Геометрически общее решение представляет собой нескончаемую совокупа интегральных кривых, зависящую Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика от 2-ух независящих характеристик и . Вообщем говоря, через каждую точку плоскости проходит пучок интегральных кривых. Потому, чтоб из семейства интегральных кривых выделить одну определенную интегральную кривую, недостаточно указать точку , через которую проходит эта Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика кривая, необходимо указать к тому же направление, в каком кривая проходит через эту точку, т.е. задать тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке с положительным направлением оси .
^ Задачка Коши
Задачка Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где   данные числа, именуется задачей Коши. Эти условия нередко именуют исходными критериями, потому что с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано изначальное Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика состояние экономического процесса и скорость его конфигурации.

Геометрический смысл задачки Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей данный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример. Решить задачку Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика Коши .

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: , .

Воспользовавшись исходными критериями, определим значение констант и из системы уравнений: .

Как следует, , и разыскиваемое решение: .
^ Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
В общем случае дифференциальное Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика уравнение второго порядка не решается аналитически, но, в неких случаях, дифференциальные уравнения второго порядка определенных типов решаются с применением операции неопределенного интегрирования.

Тип I.

Интегрируя, получим .

Интегрируя снова, совсем получим , где и Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика – произвольные неизменные, и неопределенные интегралы трактуются как некие первообразные соответственных функций.

Тип II. .

Положим, . Отсюда, рассматривая как функцию от , будем иметь: .

Как следует, уравнение воспримет вид . Разделяя переменные, получим Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика .

Интегрируя последнее уравнение, находим:

либо .

Потому что , то . Отсюда, разделяя снова переменные и интегрируя, получим:

.

Тип III. .

Положим , тогда . Уравнение воспримет вид:



Разделяя переменные и интегрируя, получим:





Определив из этого уравнения величину , методом вторичного Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика интегрирования, можно отыскать и .
^ Случаи снижения порядка
Укажем два варианта, когда дифференциальное уравнение второго порядка приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

I. Пусть левая часть уравнения не содержит , т.е Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика. уравнение имеет вид . Полагая и , получим дифференциальное уравнение первого порядка , где роль независящей переменной играет .

II. Пусть левая часть уравнения не содержит , т.е. уравнение имеет вид . Полагая и , получим уравнение первого порядка с неведомой Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика функцией .
^ Общие характеристики решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
Разглядим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными коэффициентами и .

Представим, что и – личные (т.е. не содержащие случайных Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика неизменных) решения этого уравнения.

Определение. Два решения и именуются линейно зависимыми, если можно подобрать числа и не равные сразу нулю, такие, что линейная композиция этих функций тождественно равна нулю, т.е. .

В неприятном Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения и именуются линейно независящими. Другими словами, если функции и линейно независимы и производится тождество , то числа и сразу равны нулю.

Разумеется, решения и Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика будут линейно зависимыми и тогда только тогда, когда они пропорциональны друг дружке, т.е. (либо напротив), где – неизменный коэффициент пропорциональности.

Понятие линейной независимости применимо к хоть какой паре функций. Аналогично определяется линейная Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика зависимость и линейная независимость нескольких функций.

Зная два личных линейно независящих решения линейного однородного уравнения, просто получить общее решение этого уравнения.

Аксиома. Если и – линейно независящие личные решения линейного однородного дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика второго порядка , то общее решение уравнения есть линейная композиция этих личных решений, т.е. общее решение имеет вид , где и – произвольные конечные неизменные величины.
^ Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами
Уравнение Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика вида , где и – некие действительные числа, именуется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с неизменными коэффициентами.

Личное решение этого уравнения будем находить в виде , где – неизменное число, которое нужно найти. Дифференцируя , получаем Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика и . Подставим приобретенные выражения в начальное уравнение:

.

Множитель отличен от нуля, потому можно поделить на него обе части уравнения и получить эквивалентное уравнение , из которого можно найти значения параметра . Уравнение именуется характеристическим уравнением линейного Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика дифференциального уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами . Для построения характеристического уравнения довольно в дифференциальном уравнении производные , и функцию поменять на надлежащие степени параметра , рассматривая при всем этом функцию как производную нулевого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика.

Аксиома. Если и   личные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения.

Для определения личных решений и следует за ранее решить характеристическое уравнение:

.

Корешки характеристического уравнения равны .

При решении данного квадратного Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика уравнения вероятны три варианта:

1. , тогда характеристическое уравнение имеет два разных корня и . При эти функции являются линейно-независимыми. Вправду, если допустить оборотное, то должно производиться соотношение , где хотя бы один Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика из коэффициентов либо отличен от нуля. Как следует, можно получить тождество , что противоречит здравому смыслу, так как левая часть равенства меняется с конфигурацией , в то время как правая часть постоянна. Таким макаром, общее решение для Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика этого варианта имеет вид .

2. , тогда характеристическое уравнение имеет единственный кратный корень . Потому личное решение дифференциального уравнения будет иметь вид . Всякое другое личное решение линейно независящее с будет иметь вид , где – некая функция Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика от , не являющаяся тождественно неизменной. В итоге дифференцирования получаем:





Подставляя , и в начальное уравнение после сокращения на общий множитель , получим либо . Так как, по условию , получаем . Отсюда и , где Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика и – произвольные неизменные. Как следует, . Так как, является личным решением и неизменные и являются случайными, можно принять и , при всем этом .

Таким макаром, общее решение уравнения имеет вид: .

3. , тогда характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика корешки . В данном случае личные решения дифференциального уравнения будут иметь вид и , а общее – .

Корешки характеристического уравнения

Личные решения

Общее решение

Действительные





Действительные





Комплексно-сопряженные





Пример. Отыскать общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика уравнение: . Корешки этого уравнения разные и действительные и , потому   личные решения этого уравнения, тогда   общее решение данного уравнения.

Пример. Отыскать личное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее исходным условиям: .

Корешки характеристического уравнения   действительные и равные: , потому личные Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика решения   . Тогда общее решение уравнения: .

Для определения личного решения в равенства и подставим исходные условия.

Получим: .

Подставив эти значения в общее решение, найдем личное .

Пример. Отыскать общее решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика .

Корешки характеристического уравнения комплексно-сопряженные: . В данном случае . Общее решение будет: .
^ Линейные неоднородные уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами
Разглядим линейное неоднородное уравнение второго порядка с неизменными коэффициентами , где и – данные Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика неизменные числа и – популярная функция от .

Аксиома. Общее решение неоднородного уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами равно сумме общего решения однородного уравнения и личного решения данного неоднородного уравнения.

Подтверждение. Пусть есть общее решение Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика уравнения , а – некое личное решение уравнения . Если подставить решения в надлежащие начальные уравнения получим: и . Складывая почленно, приходим к равенству: . Отсюда ясно, что функция будет общим решением уравнения , так как оно содержит две Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика независящие произвольные неизменные и .

Так как решение однородного уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами рассматривалось ранее, то нужно только указать метод нахождения личного решения .

  1. Правая часть уравнения является показательной функцией . Тогда Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика личное решение также ищется в виде показательной функции , где – неопределенный коэффициент. Отсюда, и . Подставив в начальное уравнение и сократив на , получим .

Вероятны два варианта:

  1. Правая часть уравнения является тригонометрическим полиномом . Тогда личное решение этого уравнения Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика ищется также в форме тригонометрического полинома , где и – неопределенные коэффициенты. Дифференцируя получим:

; .

Подставив в начальное уравнение и сгруппировав коэффициенты при тригонометрических функциях, получим:



Потому что последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика при тригонометрических функциях должны быть равны меж собой:



Из этой системы и определяются коэффициенты и . Эта система несовместна исключительно в том случае, когда , (т.е. когда – корешки характеристического уравнения). Тогда личное решение Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика следует находить в виде .

  1. Правая часть уравнения является полиномом, к примеру, 2-ой степени .

Тогда личное решение также следует находить в форме полинома 2-ой степени . В итоге дифференцирования получим , . Подставляя , и в начальное уравнение приходим Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика к тождеству:



либо

.

Потому что два многочлена тождественно равны друг дружке и тогда только тогда, когда коэффициенты при схожих степенях переменной равны, то для определения коэффициентов , и выходит система:



Если , то из Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика этой системы для коэффициентов , и получаются полностью определенные значения. Личное значение в данном случае также будет полностью определено.

Если (характеристическое уравнение имеет обычной нулевой корень), то система уравнений несовместна. В данном случае Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика, полагая, что , личное решение следует находить в виде . Эта задачка решается аналогично, если является полиномом какой-либо другой степени.
^ Линейные дифференциальные уравнения -го порядка
Линейным дифференциальным уравнением -го порядка именуется уравнение вида:



Если Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика , то уравнение именуется однородным. В неприятном случае, если тождество не производится, уравнение именуется неоднородным.

Для более малогабаритной записи введем обозначение:



Характеристики решений линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

  1. Для Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика всех функций и

;

  1. Для хоть какого числа и функции ;

  2. Если , , …, – решения однородного дифференциального уравнения, а – личное решение неоднородного дифференциального уравнения, то для всех чисел , , …, функция является решением неоднородного уравнения.

Для построения общего решения Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика линейного дифференциального уравнения нужно обобщить понятие линейной независимости на систему функций.

Определение. Система функций , , …, именуется линейно независящей на огромном количестве , если тождественное равенство имеет единственно вероятное решение .

Представим, что функции , , …, непрерывны Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика и имеют непрерывные производные до го порядка включительно на огромном количестве .

Тогда определитель:



именуется определителем Вронского.

Понятно, что определитель Вронского, составленный из решений линейного однородного дифференциального уравнения, обладает последующим свойством.

Аксиома. Определитель Вронского для Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика решений линейного однородного дифференциального уравнения тождественно равен нулю, когда решения линейно зависимы и не равен нулю ни в какой точке, когда решения линейно независимы на огромном количестве .

Аксиома. Общее решение линейного Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика однородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где , , …, – решения однородного дифференциального уравнения, – личное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Линейно независящая система решений , , …, линейного однородного дифференциального уравнения именуется базовой системой решений.
^ Контрольные вопросы к теме №12

  1. Понятия дифференциального Дифференциальные уравнения второго порядка - Б. В. Новыш Высшая математика уравнения.

  2. Порядок дифференциального уравнения.

  3. Способы интегрирования линейных дифференциальных уравнений.

  4. Способы приближенного решения линейных дифференциальных уравнений. Способ Эйлера.

  5. Способы интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Понятие характеристического уравнения.


differencialnij-diagnoz.html
differencialnij-operator.html
differencialno-diagnosticheskie-sredi.html