Дифференциальный оператор.

Лабораторная работа 4.

IV. Математический анализ: дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных.

1. Вычисление пределов.

2. Дифференцирование.

3. Дифференциальное исчисление функции многих переменных.

4. Исследование функции.

§1. Вычисление пределов

В Maple для неких математических операций существует по две команды: одна прямого, а другая – отложенного выполнения. Имена команд состоят из схожих букв кроме первой: команды прямого Дифференциальный оператор. выполнения начинаются со строчной буковкы, а команды отложенного выполнения – с большей. После воззвания к команде отложенного деяния математические операции (интеграл, предел, производная и т.д.) выводятся на экран в виде стандартной аналитической записи этой операции. Вычисление в данном случае сходу не делается. Команда прямого выполнения выдает итог сходу.

Для Дифференциальный оператор. вычисления пределов имеются две команды:

1) прямого выполнения – limit(expr,x=a,par), где expr – выражение, предел которого следует отыскать, a – значение точки, для которой рассчитывается предел, par – необязательный параметр для поиска однобоких пределов (left – слева, right – справа) либо указание типа переменной (real – действительная, complex – всеохватывающая).

2) отложенного выполнения – Limit(expr,x=a,par), где характеристики команды такие Дифференциальный оператор. же, как и в прошлом случае. Пример действий этих команд:

> Limit(sin(2*x)/x,x=0);

> limit(sin(2*x)/x,x=0);

При помощи этих 2-ух команд принято записывать математические выкладки в стандартном аналитическом виде, к примеру:

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=

limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Однобокие пределы рассчитываются Дифференциальный оператор. с указанием характеристик: left – для нахождения предела слева и righ – справа. К примеру:

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left)=

limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left);

> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,right)=

limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);

Задание 1.

1. Вычислить предел . Наберите:

> Limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1)=

limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1);

2. Отыскать Дифференциальный оператор. однобокие пределы и . Наберите:

> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,left)=

limit(arctan(1/(1-x)), x=1, left);

> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,right)=

limit(arctan(1/(1-x)),x=1, right);

Дифференцирование

Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

1) прямого выполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по Дифференциальный оператор. которой делается дифференцирование.

2) отложенного выполнения – Diff(f,x), где характеристики команды такие же, как и в предшествующей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде . После выполнения дифференцирования, приобретенное выражение лучше упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor либо expand, зависимо от того, в каком виде вам нужен итог.

Пример:

> Diff Дифференциальный оператор.(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; к примеру:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Приобретенное выражение можно упростить 2-мя методами:

> simplify(%);

> combine(%);

Дифференциальный оператор.

Для определения дифференциального оператора употребляется команда Дифференциальный оператор. D(f)f-функция. К примеру:

> D(sin);

cos

Вычисление производной в точке:

> D(sin)(Pi):eval(%);

-1

Оператор дифференцирования применяется к многофункциональным операторам

> f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):

> D(f);

Задание 2.

1. Вычислить производную

> Diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x)=

diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x);

2. Вычислить . Наберите:

> Diff(exp(x)*(x^2-1),x$24)=

diff(exp Дифференциальный оператор.(x)*(x^2-1),x$24):

> collect(%,exp(x));

3. Вычислить вторую производную функции в точках x=p/2, x=p.

> y:=sin(x)^2/(2+sin(x)): d2:=diff(y,x$2):

> x:=Pi; d2y(x)=d2;

x:=p d2y(p)=1

> x:=Pi/2;d2y(x)=d2;

х:=

§3. Дифференциальное исчисление функций Дифференциальный оператор. многих переменных

Большая часть задач дифференциального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных характеристик.

Личные производные.

Для вычисления личных производных функции f(x1,…, xm) употребляется уже отлично популярная вам команда diff. В данном случае эта команда имеет таковой формат: diff Дифференциальный оператор.(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым делается дифференцирование, а после знака $ указаны надлежащие порядки дифференцирования. К примеру, личная производная записывается в виде: diff(f,x,y).

Задание 3.

1. Отыскать и функции .

> f:=arctan(x/y):

>D iff(f,x)=simplify(diff(f Дифференциальный оператор.,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

.

2. Отыскать все личные производные 2-го порядка функции .

> restart; f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

.

§4. Исследование функции

Исследование функции нужно начинать с Дифференциальный оператор. нахождения ее области определения, но, к огорчению, это тяжело автоматизируемая операция. Потому при рассмотрении этого вопроса приходится решать неравенства (см. тему II). Но, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, либо нет, можно изучив ее на непрерывность.


differencirovka-aureusot-epidermiyis-saprophyticus.html
differenciruemost-funkcii-b-v-novish-visshaya-matematika.html
different-findings-for-different-age-groups.html