Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»

Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»

1) Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e)

2)Изучить функции на непрерывность. Систематизировать точки разрыва.

a) ; b)

3) Отыскать производные для последующих функций:

a) ; b) ; c) ; d)

4) Отыскать уравнения касательной и нормали к графику функции

в точке x0=1.

5) При помощи способов дифференциального исчисления выстроить график функции .

6) Отыскать наибольшее Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» и меньшее значения функции

на отрезке .

7) Даны функция и точки A(1;3), B(0,97;3,02). Вычислить:

a)значение функции ;

b) при помощи дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.

c) cоставить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке A.

8) Даны Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» функция , точка М(1;-1;2) и вектор .

Отыскать:

a) градиент данной функции в точке М;

b) производную функции в точке М по направлению вектора .

9) Дана функция . Отыскать:

a) экстремум данной функции;

b) наибольшее и меньшее значения функции в области , ограниченной линиями:

Типовой разбор варианта контрольной работы

Контрольная работа №1

1)Даны матрицы: , , .

Отыскать

Решение:

Матрица А Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» имеет размерность , матрица В размерность . Т.к. число столбцов первой матрицы равно числу строк 2-ой матрицы, то данные матрицы можно перемножить. В итоге получится некая матрица D, имеющая размерность .

Найдем элементы матрицы D:

; ; ; ;

; ; ; .

Тогда .

По правилу умножения матрицы на число

Найдём .

2)Дана матрица: . Отыскать оборотную к ней матрицу

Решение:

Вычислим Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» определитель матрицы А способом треугольников:

Т.к. , то оборотная матрица может быть найдена. Найдём алгебраические дополнения для всех частей матрицы А:

.

Составим присоединённую матрицу

Оборотная матрица

Для проверки, корректности вычисления , найдём

3) Решить систему способом Жордана – Гаусса:

a)

Решение:

Разглядим расширенную матрицу системы: . Приведём её к верхне- треугольному Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» виду.

Из 3-ей стоки вычтем 1-ю строчку, умноженную на 3: .

Разделим 3-ю строчку на 5:

Вычтем из 3-ей строчки 2-ю строчку: и разделим 3-ю строчку

на (-1): . Мы привели матрицу к верхнее- треугольному виду.

Заменим начальную систему системой, приобретенной оковём преобразования матрицы и найдем значения переменных:

Из 2-го уравнения при получим .Подставляя значения Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» y и z в 1-ое уравнение найдем значение .Тогда решение системы может быть представлнно в виде матрицы-столбца: .

b)

Решение:

Разглядим расширенную матрицу системы: . Приведём её к верхнее треугольному виду.

Поменяем местами 1-ю и 2-ю строчки: . Из 2-ой стоки вычтем 1-ю строчку, умноженную на 2, из 3-ей стоки вычтем 1-ю Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» строчку, умноженную на 3: . К 3-ей строке прибавим 2-ю строчку: . Третью строчку разделим на (-30): . Переменные являются базовыми, а переменная является свободной. Заменим начальную систему системой, приобретенной оковём преобразования матрицы и выразим базовые переменные через свободные: . Выразим из 3-го уравнения и подставим его значение во 2-ое уравнение, потом из 2-го уравнения Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» выразим и подставим в 1-е уравнение. Тогда система воспримет вид: . Свободная переменная может принимать любые значения. Зададим , где С- случайная константа. Тогда решение системы может быть представлнно в виде матрицы-столбца: .

4) Даны векторы .

a)Обосновать, что вектора образуют базис и отыскать разложение вектора по этому базису.

b) Отыскать скалярное произведение векторов и Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» .

c) Отыскать векторное произведение векторов и .

d) Отыскать смешанное произведение векторов .

Решение:

a) Три вектора в трёхмерном пространстве образуют базис, если они линейно независимы. Для проверки линейной зависимости векторов составим их нулевую линейную комбинацию: . Данное векторное уравнение соответствует системе трёх линейных однородных уравнений: . Вычислим определитель матрицы, приобретенной Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» системы: .

Т.к. определитель основной матрицы однородной системы , то система имеет единственное нулевое решение . Как следует, по определению линейной зависимости векторов, векторы являются линейно независящими , а означает образуют базис.

Найдём разложение вектора по этому базису. Составим линейную комбинацию: . Перепишем данное векторное уравнение в координатной форме: . Решая полученную систему (к Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» примеру, способом Крамера), найдём . Как следует, разложение вектора по базису имеет вид: .

b) .

c) Раскрывая определитель по элементам 1-ой строчки, получим: .

d) .

5) Даны координаты вершин треугольника, A(3, 5), B(-7, 12), C(2, -6). Отыскать:

a) длину стороны AB;

b) общие уравнения сторон AB и BC;

c) величину угла B;

d)длину и уравнение высоты, опущенной Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» из верхушки ;

e) площадь треугольника ;

f) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .

Решение:

a)Найдём длину стороны AB, как длину вектора : . .

b)Найдём уравнения сторон AB и BCпо формуле уравнения прямой, проходящей через две точки.

- общее уравнение прямой АВ.

- общее уравнение прямой ВС.

c) Угол В Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» – есть угол меж прямыми AB и BC. Угол меж прямыми может быть найден, как угол меж их нормальными векторами. . .

d) Опустим высоту из точки А на сторону ВС. Пусть точка D – есть основание этой высоты. Ровная AD перпендикулярна прямой ВС. Как следует, вектор нормали прямой ВС является направляющим вектором для прямой Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» AD. . Воспользуемся каноническим уравнением прямой. - общее уравнение высоты AD.

Найдём длину высоты AD, как расстояния от точки А до прямой ВС.

.

e)Найдём площадь треугольника как половину произведения длины основания треугольника на его высоту.

Пусть ВС – основание , AD – его высота.

; .

.

f) Обозначим прямую, проходящую через точку Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» параллельно стороне через l. Т.к. , то . Составим каноническое уравнение прямой l.

- общее уравнение прямой l.

6) Даны четыре точки A(3;-2;1), B(1;2;4), C(-5;4;6), M(2;3;-1). Отыскать:

a)уравнение плоскости a, проходящей через три точки A, B, C;

b)каноническое уравнения прямой AB;

c)уравнение и длину высоты, опущенной из верхушки М на Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» грань ;

d) объем пирамиды АВСМ.

Решение:

a)Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

Разложим определитель по элементам первой строчки:

- общее уравнение плоскости α.

b) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

- каноническое уравнение прямой АВ.

c) Обозначим высоту, опущенной из верхушки М на грань через l. Т.к , то . Составим Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» каноническое уравнение прямой l: .

Найдём длину высоты как расстояние от точки М до плоскости α: .

d)Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, построенного на трёх векторах и может быть вычислен через смешанное произведение этих векторов: .

.

7) Дано уравнение кривой второго порядка . Привести её к каноническому виду, найти вид, указать её характеристики.

Решение:

Приведём Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» данное уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты для переменных x и y:

,

,

,

.

Таким макаром, получили каноническое уравнение гиперболы со смещённым центром:

либо .

Точка – центр гиперболы.

– надуманная полуось;

– действительная полуось;

;

– эксцентриситет.

Точки определяют верхушки гиперболы:

, .

Точки определяют фокусы гиперболы:

, .

Уравнения определяют директрисы гиперболы: .

Уравнения определяют асимптоты Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»: .

Начертим гиперболу , используя отысканные характеристики (рис. 1).

Рис. 1


Контрольная работа №2

1)Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

a) . Предел дела многочленов и иррациональностей при равен лимиту дела старших по степени слагаемых.

b) .

c)

.

d)

e)Воспользуемся обобщённой формулой второго восхитительного предела:

.

2) Изучить функции на непрерывность. Систематизировать точки разрыва.

a) .

Решение Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»:

Т.к. при знаменатель дроби обращается в ноль, то -есть точка разрыва данной функции. Найдём пределы при слева и справа.

, , как следует -есть точка разрыва второго рода.

b)

Решение:

Функции , , – простые и в области определения непрерывны. Точки разрыва вероятны в переходных от 1-го задания к другому точках Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных», т.е. в точках и . Исследуем поведение функции в этих точках:

слева: справа: , тогда , т.е. функция непрерывна в точке

слева: справа: , тогда , т.е. функция имеет разрыв первого рода в точке , т.к. пределы конечны.

3) Отыскать производные первого порядка для последующих функций:

a)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» производной личного:

b)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной оборотной функции:

c)

Решение:

Воспользуемся формулой логарифмического дифференцирования.

Найдём

По формуле для нахождения производной от произведения:

.

Как следует .

d)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной параметрически данной функции: .

;

Тогда .

4) Отыскать уравнения касательной и нормали к графику функции

в точке x0=-2.

Решение Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»:

- уравнение касательной.

- уравнение нормали.

;

По формуле для нахождения производной личного:

; .

Тогда уравнение касательной: ;

Уравнение нормали: .

5) При помощи способов дифференциального исчисления выстроить график функции .

Решение:

1) Области определения функции не принадлежит только точка х=0:

D(y)=(-¥;0)È(0;+¥).

2) функция вида (не чётная и не нечётная).

Функция не периодична поэтому, что её Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» область определения не имеет повторяющейся структуры.

3)Найдём точки скрещения графика с осями координат.

С осью Ox: у=0, , точка .

С осью Oy: при х=0 функция не существует точек скрещения с осью Oy нет.

4)Найдем асимптоты функции.

Вертикальные:

Исследуем функцию в округи точки разрыва х=0.

Левосторонний предел .

Правосторонний предел равен

-двусторонняя вертикальная Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» асимптота.

Наклонные и горизонтальные:

y=х – ровная, которая служит наклонной асимптотой графика как при x®-¥, так и при x®+¥.

5) Найдем критичные точки: х=-2.

Найдем интервалы монотонности (способ интервалов) и точки экстремума функции.

Интервалы монотонности: на интервале функция увеличивается; на интервале функция убывает.

При х=-2- функция воспринимает наибольшее значение Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» точка максимума.

При х=0 – экстремума нет, потому что в этой точке функция не определена.

6) Исследуем функцию на вогнутость, неровность и перегиб.

Найдём вторую производную .

Интервалы неровности, вогнутости: на интервале функция выпукла. Перегибов нет.

7) На рис.2 построена кривая, удовлетворяющая проведённому исследованию.

Рис. 2

6)Отыскать наибольшее и меньшее значения функции

на отрезке .

Решение Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»:

. Найдём критичные точки:

не существует, если

Точка , .

Найдём .

Найдём значения функции на концах отрезка:

; .

Наибольшее значение на данном отрезке достигается функцией в 2-ух точках – на концах отрезка: .

Меньшее значение на данном отрезке достигается функцией во внутренней точке отрезка: .

7)Даны функция и точки A(1; 2), B(1,02; 1,97).

Вычислить

a) значение функции ;

b) при Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» помощи дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.

c) Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности ,данной данной функцией в точке C (x0, y0, z0).

Решение:

a) .

b) Воспользуемся формулой: .

; ; .

Найдем , , тогда , .

Как следует, получим:

Оценим относительную погрешность вычисления Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»: .

c) C (1; 2; 3)

Составим уравнение касательной плоскости :

Составим уравнение нормали: .

8) Даны функция , точка A(2;-1) и вектор . Требуется отыскать и производную в точке A по направлению вектора .

Решение:

; ; ;

Как следует .

Найдём направляющие косинусы вектора :

; .

данная функция убывает в направлении вектора

9) Отыскать экстремум функции и ее наибольшее и меньшее значения Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» в области : .

Решение:

Найдем стационарные точки функции из системы: .

М(6; -8)- стационарная точка. .

точка М0(6; -8) является точкой минимума функции.

Стационарная точка М0 не лежит в данном круге. Потому наибольшее и меньшее значения функция воспринимает на границе области, т.е. на окружности .

Составим функцию Лагранжа .

Ее стационарные точки найдем из системы , откуда Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» . Как следует, стационарными точками границы являются М1(3, -4) и М2(-3, 4). . Эти числа являются минимальным и большим значениями z в данной области: ; .


Перечень рекомендуемой литературы.

1. Агишева Д. К. Матрицы и их приложение к решению систем линейных уравнений: Учебное пособие/ Д. К. Агишева, С. А. Зотова, В. Б. Светличная. - Волгоград Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных», РПК «Политехник», 2001. – 63с.

2. Александрова Л. А, Александрова В. А, Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А., Короткова Н. Н. Математика. I часть: Учебное пособие (для студентов заочной формы обучения) / – Волгоград, РПК «Политехник», 2003. – 84с.

3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей арифметике. 1 часть. – М.: Рольф, 2000. – 288 с., с илл.

4. Данко П. Е Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных».,Попов А. Г.,Коевникова Т. Я. Высшая математика в упранениях и задачках. Том 1 – М.: Высшая школа, 1980 – 320 с., с илл.

5. Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А.. Практическое управление по аналитической геометрии: Учебное пособие / – Волгоград, РПК «Политехник», 2003. – 41с.

6. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» для втузов – СПб: «Специальная Литература», 1998.–200 с.: илл.

7. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по арифметике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1981.–720с.: илл.

8. Выгодский М. Я. Справочник по высшей арифметике. –М.: Гостехтеоргиздат, 1973.


Вопросы к экзамену по арифметике.


difrakciya-fraungofera-ot-odnoj-sheli.html
difrakciya-na-kruglom-otverstii.html
difrakciya-sveta-na-difrakcionnoj-reshetke.html