Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий.

Тема 7

Расчет прочности и жесткости обычный балки

Лекция №13

Перемещения при извиве

13.1 Соответствующие перемещения при извиве.

13.2 Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий.

13.3 Интегрирование дифференциального уравнения полосы прогибов и определение случайных неизменных.

13.4 Внедрение локальной системы координат при наличии нескольких участков интегрирования.

Соответствующие перемещения при извиве.

Разглядим извив стержня Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий. в главной плоскости (рис. 13.1,а). Как указывает опыт, реальные стержни, работающие в составе строй конструкций, испытывают очень малые искривления. ( ). Основной вклад в создание этих деформаций заносят изгибающие моменты, вызывающие искривление каждого элемента балки длиной на угол (рис 13.1,б). Поперечные силы делают у частей деформации сдвига, которыми в почти всех случаях третируют.

Рис Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий..13.1 Перемещения при малых прогибах

Будем считать искривления малыми и учесть только воздействие изгибающих моментов. В данном случае неведомой функцией, определяющей положение сечений балки в деформированном состоянии, является функция прогибов .

Прогиб - это перемещение центра масс сечения в направлении главной оси инерции сечения (на рис 13.1,а это ось у). Ось балки искривляется по Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий. кривой с уравнением , которую именуют упругой линией либо линией прогибов балки.

Не считая прогиба соответствующим перемещением случайного поперечного сечения является его угол поворота относительно оси .

Согласно догадке плоских сечений, каждое сечение при извиве остается обычным к оси изогнутого стержня, т.е. угол наклона касательной равен углу поворота сечения Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий. .

Из аналитической геометрии понятно, что тангенс угла наклона касательной к кривой равен первой производной от уравнения этой кривой.

(13.1)

Таким макаром, из 2-ух независящих функций и основной является функция прогибов. Углы поворота получаются дифференцированием функции прогибов.

Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий.

При выводе трехчленной формулы Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий. для обычных напряжений было получено соотношение (см. (9.14)), связывающие изгибающий момент и создаваемый им угол искривления элемента стержня (обоюдный угол поворота торцов элемента – кривизна оси элемента).

Опуская индексz в обозначениях с учетом (13.1) получим систему 2-ух дифференциальных уравнений первого порядка

, . (13.2)

Интегрирование системы уравнений (13.2) с учетом критерий закрепления балки дает возможность отыскать функции и .

Подстановка Дифференциальное уравнение и система дифференциальных уравнений для функций перемещений и усилий. из второго уравнения системы (13.2) в 1-ое дает дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции прогиба

. (13.3)

С учетом узнаваемых дифференциальных соотношений меж поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки (7.3) , меж изгибающим моментом и поперечной силой (7.4) , также (13.2) получим:

, , , . (13.4)

Интегрирование системы 4 обычных дифференциальных уравнений первого порядка (13.4) производится с учетом граничных критерий:

(13.5)
(13.6)
(13.7)


digital-computer-operation.html
digra-chto-iz-chego-sdelano.html
dihanie-dlya-usileniya-krovoobrasheniya-v-glazah-i.html