Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции

Пусть функция определена в некой области всеохватывающего переменного . Пусть точки и принадлежат области . Обозначим:

Определение.Функция именуется дифференцируемой в точке , если отношение имеет конечный предел при произвольным образом. Этот предел именуется производной функции и обозначается эмблемой (либо , либо ), так что по определению

Если , то в каждой точке дифференцируемости функции производятся соотношения:

именуемые Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции критериями Коши-Римана.

Назад, если в некой точке функции и дифференцируемы как функции реальных переменных и и, не считая того, удовлетворяют условиям Коши-Римана, то функция является дифференцируемой в точке как функция всеохватывающего переменного .

Определение.Функция именуется аналитической в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке , так и Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции в некой её округи. Функция именуется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Для хоть какой аналитической функции имеем:

.

Пример 8.Показать, что функция является аналитической на всей всеохватывающей плоскости.

Решение. Имеем: , так что

Для функций и проверим выполнение критерий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции производятся во всех точках. Означает, функция везде аналитическая. Тогда

Итак,

Пример 9.Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Решение.Имеем: , так что

Найдём личные производные функций и :

Условия Коши-Римана в данном случае имеют вид:

и удовлетворяются исключительно в одной точке

Как следует, функция дифференцируема исключительно в точке и нигде не Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции аналитична.

Таким макаром,

Для производных от функций всеохватывающего переменного имеют место правила, подобные подходящим правилам для производных от функций реального переменного. А конкретно: если в точке есть производные и , то есть и производные , , , , причём производятся последующие равенства:

где – всеохватывающее число;

(при ).

Производные главных простых функций находятся по этим Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции же формулам, что и для реального аргумента:

1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. 12.
7. 13.

Если функция – аналитическая в области , то её действительная часть и надуманная часть являются функциями, гармоническими в области . Это означает, что у каждой из функций и есть непрерывные в личные производные 2-го порядка, и для каждой из их правильно уравнение Лапласа:

Если функция Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции (функция ) является гармонической в некой области (вообщем говоря, односвязной, т.е. ограниченной замкнутой несамопересекающейся линией), то существует аналитическая в функция с реальной частью (соответственно, с надуманной частью ), определяемая с точностью до неизменного слагаемого.

Пользуясь критериями Коши-Римана, аналитическую функцию можно вернуть, если известна её действительная часть либо надуманная часть Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции .

Пример 10.Вернуть функцию по известной её реальной части и дополнительном условии

Решение.Проверим, является ли функция гармонической.

Имеем: Вычислим личные производные 2-го порядка:

Отсюда т.е. функция удовлетворяет уравнению Лапласа, а, означает, является гармонической.

Имеем: По первому из критерий Коши-Римана должно быть так что

Отсюда где функция пока неведома Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции.

Дифференцируя по и используя 2-ое из критерий Коши-Римана, получим:

а потому что то

отсюда а означает где

Итак, и, как следует,

Таким макаром, Постоянную найдём из условия т.е. , отсюда

Ответ:


dihanie-osnova-vokalno-horovoj-tehniki.html
dihanie-pranoj-i-telepatiya.html
dihanie-rastenij.html