Дифференцирование параметрически заданных функций

39.

Определение.

Производной функциив точке именуется предел дела приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.

Смысл производной - это скорость конфигурации ф-ции при изменении аргумента.

Геометрический смысл производной.

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x Дифференцирование параметрически заданных функций) в этой точке.

Физического смысла производной

Давайте вспомним что такое скорость и ускорение? Скорость - это расстояние разделять на время, т.е. скорость - это расстояние, пройденное за единицу времени, означает скорость - 1-ая производная от расстояния. Ускорение - это скорость разделять на время, т.е. ускорение - это скорость в единицу времени, означает ускорение - 1-ая Дифференцирование параметрически заданных функций производная от скорости. В этом заключается физический смысл производной.

Аксиомы.

Пусть функция определена на неком огромном количестве , и . Назовём точку точкой максимума функции на огромном количестве , если при всех производится неравенство , и точкой минимума, если при всех производится неравенство .

Точка , являющаяся или точкой максимума, или точкой Дифференцирование параметрически заданных функций минимума, именуется точкой экстремума.

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Ферма. Пусть функция имеет на огромном количестве точку экстремума , причём огромное количество содержит некую -окрестность точки . Тогда или имеет в точке производную, равную 0, другими словами Дифференцирование параметрически заданных функций , или производная в точке не существует.

Ролль. Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и воспринимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в какой .

Лагранж. Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

Коши. Пусть функции и дифференцируемы Дифференцирование параметрически заданных функций на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что

Определение.

Итак, график дифференцируемой функции в округи каждой собственной точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – нескончаемо малая в округи функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке Дифференцирование параметрически заданных функций x0 + Δx эту нескончаемо малую функцию можно откинуть:

Линейную функцию именуют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, другими словами Потому пишут:

Дифференциалом функции именуется величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответственного приращения функции на Дифференцирование параметрически заданных функций б.м.в. более высочайшего порядка малости, чем Dх.

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx.

Характеристики:


1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U Дифференцирование параметрически заданных функций±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независящая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В данном случае имеем

df(x0) = f'(x0)dx.

Если x = φ(t) - дифференцируемая Дифференцирование параметрически заданных функций функция, то dx = φ'(t0)dt. Как следует,

т. е. 1-ый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно подмены аргумента.

Инвариантность -неизменность чего-либо при определённых преобразованиях переменных

Дифференцирование параметрически данных функций

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

где t – параметр.
Тогда производная этой функции по переменной x равна отношению производных и по параметру t:


dihanie-stroenie-i-funkcii-dihatelnoj-sistemi-dihatelnij-centr.html
dihanie-v-soedinenii-s-dvizheniem.html
dihanie-vo-vremya-dzadzen.html