Дифференцируемость функции - Б. В. Новыш Высшая математика

^ Дифференцируемость функции
Если для точки существует число такое, что приращение функции представимо в виде , то молвят, что функция дифференцируема в точке . Число является производной функции в точке :

.

Таким макаром, дифференцируемость функции в точке значит Дифференцируемость функции - Б. В. Новыш Высшая математика, что в этой точке существует производная функции.

Итак, если дифференцируема в точке , то: .

Величину именуют дифференциалом функции в точке и обозначают обычно знаками: и др.

Если функция дифференцируема в точке Дифференцируемость функции - Б. В. Новыш Высшая математика , то эта функция непрерывна в точке . Оборотное утверждение ошибочно.
^ Правила дифференцирования
Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные . Тогда:

  1. Функция дифференцируема и ;

  2. Если   неизменная, то функция дифференцируема и ;

  3. Из 1 и 2 следует, что ;

  4. Функция Дифференцируемость функции - Б. В. Новыш Высшая математика дифференцируема и ;

  5. Из 4 следует, что ;

  6. Если определена и дифференцируема, то .
^ Таблица производных
Главные простые функции дифференцируемы везде, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е Дифференцируемость функции - Б. В. Новыш Высшая математика. по формуле:



и при помощи правил дифференцирования.

Приобретенные значения производных главных простых функций приведем в таблице.

;

;

;

;



;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Внедрение таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических композиций главных простых функций.
^ Производная сложной Дифференцируемость функции - Б. В. Новыш Высшая математика функции
Пусть и . Тогда можно найти сложную функцию . Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то непростая функция дифференцируема в точке , и ее производная может быть вычислена по Дифференцируемость функции - Б. В. Новыш Высшая математика правилу цепочки:

.

Либо более коротко .

Правило можно записать также в виде: .

Пример 4. . Вычислить .

Обозначим . Тогда .

.

Пример 5. . Вычислить .

.

Пример 6. . Вычислить .

.


dikorastushie-pishevie-rasteniya-referat.html
diktant-po-russkomu-yaziku.html
diktatura-kromvelya-1649-1658-gg-referat.html